Эта и последующая заметки являются продолжением
обсуждения, начатого в заметке "Теорфизика для малышей-12: размерная трансмутация -- поразительнейшее явление в теорфизике".
Итак, сейчас я постараюсь описать мое видение ситуации
с размерной трансмутацией. Подумав, я предпочел разбить
объяснение на две части. В этой заметке я расскажу
о том, в чем формульная и идейная причина этого явления.
В следующей заметке я опишу другое, несколько менее строгое,
но довольно интересный взгляд на происхождение массы протона
"из ничего".
Почему размерная трансмутация ОБЯЗАНА иметь место
Предположим, что у нас есть кварк и мы хотим померять его цветовой заряд,
то есть, способность глюона цепляться к нему (по аналогии с электродинамикой,
где электрический заряд можно охарактеризовать как способность фотона
"цепляться" за частицу). Оказывается, что в КХД эта задача плохо сформулированна.
Дело в том, что -- как вы все знаете -- кварк поляризует физический вакуум,
а точнее поляризует виртуальные кварк-антикварковые и глюонные пары,
постоянно присутствующие в физическом вакууме. Эта поляризация приводит к тому,
что цветовой заряд кварка зависит от того, с какого расстояния мы на него смотрим.
В теории это выглядит так.
Когда мы пытаемся аккуратно считать какой-то процесс (например, процесс
поглощения глюона кварком), то нам приходится считать разнообразные
фейнмановские диаграммы.
Среди них есть и так называемые петлевые диаграммы.
Петлевые -- это значит что в таких диаграммах кроме входящих и
выходящих частиц есть частицы, "бегающие" внутри диаграммы и не выходящие наружу. Это как раз и есть те виртуальные частицы, которые присутствуют в физическом вакууме.
Эти-то частицы, бегающие по петлям, и слегка изменяют то,
как глюон цепляется за кварк, а значит, изменяют и то, что мы называем
цветовым зарядом или константой сильного взаимодействия.
Итак, как видим, с точки зрения физического смысла
(или можно сказать, в силу рукомахательных аргументов, приведенных выше -- кому как нравится) обязана существовать зависимость безразмерной константы от расстояния, или от характерной энергии процесса
(т.е. от размерного параметра!). "Бегучесть" константы взаимодействия
проистекает из существования самого взаимодействия и существования
виртуальных частиц, а они в теории поля есть всегда (что проще всего доказать,
представляя их как петли на диаграммах).
Техническое происхождение размерной трансмутации
Как это происходит технически? Выводится уравнение, описывающее
дифференциальную "прибавку" к константе взаимодействия при изменении
энергии процесса E. Пусть alpha_s -- константа сильного взаимодействия (аналог постоянной тонкой структуры в КЭД).
Тогда уравнение выглядит так (оно вообще-то нелинейное, но для простоты
изложения я напишу разложение до первого члена):
d alpha_s / alpha_s = - (alpha_s * b / 2 pi) * dE/E
Здесь число b равно приблизительно 9. (Вообще-то оно слегка зависит
от количества "легких" ароматов кварков, но эта зависимость не существенна.
Главное, что b > 0.)
Заметьте одну особенность: хоть в игру вступила размерная величина,
она пока что входит лишь в безразмерной комбинации (dE/E).
Однако уже здесь надо навострить уши. Я не знаю, насколько мое следующее
утверждение доказуемо и вообще верно, но мне кажется, что
если проводить все промежуточные вычисления исключительно
с безразмерными величинами, то размерные величины в задачу не засунешь.
В любом случае, технически в этой конкретной задаче
какое-либо упоминание об энергии появляется тогда, когда мы
делаем регуляризацию. Регуляризация -- математически
корректный способ работать с промежуточными величинами,
который при счете "в лоб" являются бесконечными.
Способов регуляризовать выражения очень много, но важно понимать
то, что любой из них привносит размерный параметр в задачу.
На время, но привносит. То есть, в ответах этого регуляризующего
параметра уже нет, но свое дело он сделал -- позволил ввести в уравнение
энергию, пусть и в безразмерной комбинации.
По-видимому, в регуляризации и состоит техническое, формульное
происхождение всех зависимостей безразмерных величин от размерных.
Идейное происхождение размерной трансмутации
Давайте копать дальше. Перейдем теперь от самого уравнения к его решению.
Если проинтегрировать уравнение от энергии E_0 до энергии E_1,
то мы сможем получить связь констант взаимодействия в этих точках:
1/alpha_s(E_1) - 1/alpha_s(E_0) = (b / 2pi) * Ln(E_1/E_0)
ОК, пока что проблем с размерностями нет.
Но нет и окончательной определенности: ведь мы пока получили
разность функции между двумя точками, но не само значение функции.
Для того, чтобы получить само значение функции, нам надо
зафиксировать некую точку отсчета, то есть написать, что
при таком-то расстоянии функция равна такому-то определенному
значению. Именно тут-то мы и вводим руками размерную величину.
Итак, размерная трансмутация, как мы видим, заключается
в следующем: мы не сможем выразить ответ без привлечения
какого-то размерного параметра.
А с размерным параметром -- пожалуйста. Введем некую величину размерности
массы -- Lambda_QCD и перепишем решение уравнения так:
1/alpha_s(E_1) - (b / 2pi) * Ln(E_1/Lambda_QCD)
= 1/alpha_s(E_0) - (b / 2pi) * Ln(E_0/Lambda_QCD)
Поскольку с разных сторон стоят функции, зависящие от разных
переменных, а равенство, тем нем менее, получается тождественно,
то делаем вывод, что обе части равенства есть просто константы.
1/alpha_s(E) - (b / 2pi) * Ln(E/Lambda_QCD) = const
Мы всегда можем подобрать такое значение Lambda_QCD, чтобы
константа, стоящая справа, была равна нулю.
Тогда получим классическое выражение для бегущей константы alpha_s
alpha_s(E) = 2pi/(b * Ln(E/Lambda_QCD) )
Согласно оценкам КХД, Lambda_QCD примерно равна 200-300 МэВ.
Итак, мы получили выражение для абсолютного значения константы
взаимодействия ценой "введения руками" некоего размерного коэффициента.
Такая ситуация, на мой взгляд, есть свидетельство того, что вся наша задача,
вся наша теоретическая конструкция не является замкнутой.
КХД -- та теория, в которой мы работаем -- сама по себе недоопределена.
Она дает нам закон эволюции (закон изменения alpha_s с энергией),
но ничего не говорит о начальных условиях этой эволюции.
Без начальных условий теория не полна,
и для того, чтобы получать определенные, окончательные,
физически осмысленные результаты, необходимо ввести извне точку отсчета.
Именно в этом -- идейное происхождение размерной трансмутации.
Неизбежна ли такая ситуация? Очевидно, нет.
Я подозреваю, что рано или поздно будет построена теория, выводящая
свободные параметры в КХД из каких-либо фундаментальных законов.
Эта более общая теория -- включающая КХД как частный случай -- сможет
дать однозначный ответ о численном происхождении размерного
параметра в КХД.
Разумеется, эта общая теория должна уже иметь некий свой собственный,
законный параметр массы, и тогда ее предсказание будет заключаться
в выводе пропорциональности Lambda_QCD и этого параметра.
Долой мистику! или Развенчание размерной трансмутации
Проиллюстрировать (но не доказать!) это мое "подозрение" можно
достаточно легко. Взгляните на Рис.1, показывающий, как меняются
с ростом энергии константа сильного взаимодействия alpha_s
и две константы электрослабого взаимодействия alpha_1 и alpha_2
(последние отвечают зарядам g и g' в электрослабой теории).
Представленная картинка есть экспериментальные данные,
экстраполированные (с учетом суперсимметрии) в область высоких энергий.
| |
Рис.1 Слияние трех констант на масштабе 10^16 ГэВ.
|
При максимальных энергиях, достижимых на современных коллайдерах,
alpha_s = 1/10, alpha_1 = 1/26, alpha_2 = 1/67 (приблизительно, конечно).
С ростом энергии, однако, все три "константы" начинают сближаться.
Замечательное явление происходит при энергиях порядка 10^16 ГэВ
(при условии, что ничего нового на пути эволюции не произойдет):
все три константы принимают значение, приблизительно равное 1/50.
С какой точностью все три константы сравниваются, нам издалека
(т.е. из области "малых" энергий), конечно, не видно, но существует предположение,
что численные значения всех констант при этой энергии совпадают точно.
Другими словами, это есть предположение о том, что при таких энергиях
электрослабые и сильные взаимодействия сливаются в одно фундаментальное
сильно-электро-слабое (это так называемое Великое Объединение),
и вся физика выше этой пороговой энергии уже определяется только
этим единым взаимодействием.
Разумеется, никакой завершенной теории этого Великого Объединения у нас
пока нет. Но предположим -- для иллюстрации -- что такая теория
построена. В ней вполне может присутствовать какой-то внутренний,
присущий теории размерный параметр. Это может быть, например,
планковская масса, которая находится недалеко по энергии (около 10^19 ГэВ).
Либо это может быть размер дополнительных пространственных измерений.
В том или ином случае, именно этот параметр и определяет масштаб,
на котором происходит слияние сильного и электрослабого взаимодействия.
Или, если спускаться вниз по энергии, тот масштаб,
ниже которого происходит расщепление единого взаимодействия на
сильное и электрослабое.
Теперь осталось сказать, что в рамках этой гипотетической,
полностью построенной теории Великого Объединения будет, разумеется,
объяснено происхождение числа 1/50. Таким образом, мы видим, что
с точки зрения чистой КХД эволюции задача стала полностью определена:
существует начальная точка, откуда надо начинать эволюцию
("бегучесть" константы связи) вниз по энергии и дано значение
функции в этой точке. Используя числа 1/50 и 10^16 ГэВ, можно записать
бегучесть alpha_s в следующем виде:
1/alpha_s(E) = 50 - (2pi / b) * Ln(10^16 ГэВ / E)
С точки же зрения всеобщей теории, начальная точка и начальное значение
функции появились сами собой, были выведены из первых принципов.
Таким образом, мы доопределили КХД -- и как следствие, то, что
в чистой КХД являлось внешним, "вводимым руками" параметром,
в новой теории получается само собой. И никакой мистики с размерной трансмутацией
уже нет: оказалось, что если копнуть глубже, то выяснится, что
Lambda_QCD -- это просто планковская масса (либо обратный радиус компактификации скрытых измерений,
... либо что-нибудь еще), поделенный на о-о-о-очень
большой, экспоненциально большой коэффициент. И все!
Просто при наших, "низких" энергиях этой связи въявь не видно.
Выводы
Итак, идейная суть явления размерной трансмутации --
недоопределенность КХД. Без попытки введения размерного
параметра, она может дать не абсолютные значения размерных величин,
а лишь их отношения.
Если же мы хотим знать абсолютные значения масс и т.д., измеренные
в каких-то определенных единицах, то нам надо эти единицы как-то в теорию
ввести. Размерная трансмутация -- это то, как наша единица измерения
вводится в задачу. Совершив этот "акт", мы уже можем выражать
массы в привычным нам единицах.
Наконец, если КХД доопределить неким правильным способом
(как именно, мы пока не знаем), то никакого самопроизвольно
возникающего параметра в задаче не будет. Размерная трансмутация
как мистическое явление исчезнет.
